053.哥德尔不完备定理！（1/2）

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事实上，卢格安使用的证明方法和哥德尔在1931年使用的方法并不相同。

虽然哥德尔原本的证明，也是将一个自指的语义悖论在自然数中严谨地构造出来。

但不一样的是，哥德尔选择的悖论是：“这句话不可证”，而卢格安选择的则是“贝里悖论”。

用“贝里悖论”证明不完备定理，是由后来的麻省理工学院逻辑学教授GeorgeBoolos最先提出的。

因为Boolos教授在证明中给出了某一些不可证陈述的形式，所以这种方法相比哥德尔的方法要高明一些，证明过程也更加简洁。

卢格安在仔细斟酌一番后，最终还是抛弃了哥德尔的方法，选用了“贝里悖论”。

“那么到这里，诸位对贝里悖论和它的三个结论没有问题了吧？”

好不容易挣脱开伊蕾亚“魔爪”的卢格安，将伊蕾亚不安分的小手死死攥在手里，脸上重新露出了自信的笑容。

“如果没有，那么我们就进行下一步证明了……”

金乌在不知不觉间划过天际，在苍穹之顶画出一道金色的轨迹，最终归于汤谷扶桑。

是夜，寒江自碧，月蟾高挂，弦月如弓。

希尔伯特研究所内，教室的讲台上，卢格安不知从哪搬了一把椅子，靠在椅背上侃侃而谈。

而台下一众教授级大学者则如同小学生一般正襟危坐，认真地听着卢格安的讲授。

哥德尔不完备定理的内容并不复杂，但想要证明它，就一定要实现数学命题的“自我言说”，这需要用到极为高明的数学技巧。

哪怕在场这些学者的水平都极高，想要跟上卢格安的思路，也必须要全神贯注才行！

“然而由定理知所有全可计算函数其算法的x配数组成的集合，并不是半可判定的。

然而这个集合包含P函数，所以存在一个可计算函数，我们不能证明其是否是全可计算函数，故而我们可以得出结论：

对于任何包含了自然数的自洽公理系统，存在一个公理系统中的陈述，使得其在此公理系统中不可证。”

随着卢格安话音刚落，伊蕾亚也停下书写，握着粉笔的右手微微颤抖。

这一天下来，这块黑板写了擦，擦了写，甚至连它本来的颜色都看不出来了！

虽然期间有卢格安帮忙，但在黑板上连续写这么长时间，做为女性的伊蕾亚终究还是遭不住。

注意到这一点的卢格安赶紧起身，将座位让给伊蕾亚。

他自己则站到伊蕾亚身后，为伊蕾亚轻轻按揉着肩膀，以此减轻她的肌肉酸痛。

看着疲惫到连话都说不出来的女孩，卢格安有些心疼。

该死的，偌大的哥廷根大学竟然连一个投影仪都没有！亏你们还是德意志最有钱的大学！

卢格安叹了口气，一边帮伊蕾亚按摩着肩膀，一边为今天的“讲座”定下最终结论。

“以上的内容，我称之为不完备定理。

真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。

所以，证明论是绝对不会成功的。”

说罢，卢格安便不再去理会台下一众呆若木鸡的教授，把注意力集中在伊蕾亚身上。

卢格安蹲在女孩面前，双手捧起女孩颤抖的右手，轻轻按捏着。

“辛苦了，伊蕾亚。”

伊蕾亚无力地摇摇头，露出一个虚弱的微笑，嘴上却仍不忘开玩笑地问道：“那你打算怎么补偿我？”

“一会去喝一杯？”

伊蕾亚眨眨眼睛，明知故问地笑问道：“喝什么？咖啡吗？”

“没有酒精的饮品和水有什么区别？”说着，卢格安故意露出一个‘邪恶’的笑容：“放心，这次我会点一箱伏特加。”

“去你的。”

女孩风情万种地白了卢格安一眼，嘴角却遮掩不住笑意。

就在台上年轻男女旁若无人地调笑时，台下，一众教授终于回过神来。

“不完备定理……不完备定理……”

有一个中年教授紧紧抓着头发，双眼空洞地望着自己的脚尖，脸上露出一个痛苦的表情：“难道数学界坚持了400多年的观点是错的吗？”

听到这位教授痛苦的反问，周围的教授沉默不语。

自从文艺复兴时期开始，笛卡尔，莱布尼茨这些大数学家就想要找到一个可以解决一切问题的理论。

此后，几乎每一代数学家都把它做为数学界的最终理想，并且不懈地为之努力。

符号逻辑，集合论，元数学……随着一个个数学体系逐渐成熟，眼看着证明论计划将在他们这一届成功。

结果卢格安却突然蹦出来，告诉他们，数学界坚持了几百年的事情是错的？